YBC 7289 มัตติกาจารึกคณิตศาสตร์ ณ รุ่งอรุณแห่งอารยธรรม

Multiverse | บัญชา ธนบุญสมบัติ

บทความนี้ขอแจกแท็บเลตทำจากดินเหนียว (clay tablet) หรือที่ท่านพระยาอนุมานราชธนขนานนามอย่างไพเราะว่า มัตติกาจารึก คำว่า มัตติกา เป็นภาษาบาลีแปลว่า ดินเหนียว เชื่อว่าอาจช่วยให้คุณผู้อ่านได้เห็นภูมิปัญญาอันน่าทึ่งแห่งโลกโบราณ

มัตติกาจารึกชิ้นนี้มีชื่อว่า YBC 7289 เนื่องจากเป็นสมบัติของ Yale Babylonian Collection หรือคลังสะสมวัตถุโบราณที่เกี่ยวข้องกับอารยธรรมบาบิโลนของมหาวิทยาลัยเยล (Yale University)

มัตติกาจารึก YBC 7289 ถือกำเนิดขึ้นในช่วงปี 1800-1600 ก่อนคริสต์ศักราช แผ่นดินเหนียวนี้มีรูปร่างเกือบกลม เส้นผ่าศูนย์กลางประมาณ 7 เซนติเมตร คือวางอยู่ในมือได้สบายๆ บนแผ่นมีรอยจารึกเป็นเส้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพร้อมเส้นทแยงมุมสองเส้น แถมมีอักษรลิ่ม (cuneiform) แสดงตัวเลขอยู่ด้วย

ระบบตัวเลขที่ใช้เป็นเลขฐาน 60 (sexagesimal system) ซึ่งฟังแล้วเหมือนไกลตัว แต่จริงๆ แล้ว เราก็ใช้ระบบนี้กันอยู่ทุกวัน เช่น 60 วินาที เป็น 1 นาที และ 60 นาที เป็น 1 ชั่วโมง รวมทั้งมุมรอบจุด 360 องศา ก็มาจาก 6 x 60 องศานั่นเอง

นักโบราณคดีได้อ่านตัวเลขบนจารึกนี้ ได้ความว่า ตัวเลขด้านข้างสี่เหลี่ยมคือ 30 สำหรับชุดตัวเลขบนเส้นแนวนอน (ในภาพ) อ่านได้ว่า 1; 24, 51, 10 ส่วนชุดตัวเลขใต้เส้น อ่านได้ว่า 42, 25, 35 (ไม่ได้ใบ้หวยงวดหน้านะครับ ;-))

จากภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสพร้อมเส้นทแยงมุม ทำให้เดาได้ไม่ยากนักว่า ชุดตัวเลขบนเส้นน่าจะเกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นทแยงมุมนั่นเอง แต่เรื่องนี้ก็ไม่ได้ตรงไปตรงมาง่ายๆ ซะทีเดียว

เดิมทีเคยมีผู้สันนิษฐานว่า ชุดตัวเลข 1; 24, 51, 10 น่าจะหมายถึง 1.245110 ซึ่งใกล้เคียงกับรากที่สองของ 2 หรือ 1.4142135… (เนื่องจากถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 1 หน่วย เส้นทแยงมุมจะยาวเท่ากับรากที่สองของ 2) แต่ข้อสันนิษฐานนี้ไม่ถูกต้องแน่ๆ เพราะนี่คือการคิดแบบเลขฐาน 10 ล้วนๆ

ชุดตัวเลข 1; 24, 51, 10 ต้องตีความโดยใช้เลขฐาน 60 กล่าวคือ 1+24/60+51/(60×60) +10/(60x60x60) = 1.41421296296… ซึ่งเมื่อเทียบกับค่ารากที่สองของ 2 คือ 1.4142135… จะเห็นว่าชุดตัวเลข 1; 24, 51, 10 นี้ ก็คือ ค่าประมาณของรากที่สองของ 2 ซึ่งถูกต้องถึงทศนิยม 5 ตำแหน่ง เมื่อคิดตามเลขทศนิยมในปัจจุบัน

พูดง่ายๆ ก็คือ มัตติกาจารึก YBC 7289 เป็นหลักฐานหนึ่งที่ยืนยันว่า นักคณิตศาสตร์แห่งเมโสโปเตเมียสามารถคำนวณค่ารากที่สองของ 2 ได้แม่นยำถึงทศนิยม 5 ตำแหน่งมาอย่างน้อย 3,600 ปีแล้วนั่นเอง!

ความน่าอัศจรรย์ของ YBC 7289 ยังไม่จบเพียงแค่นี้ เพราะเรายังสามารถตีความตัวเลข 30 และชุดตัวเลข 42, 25, 35 ได้อีก 2 แบบ

แบบแรก คือตีความตัวเลข 30 ว่าเป็นความยาวของด้านสี่เหลี่ยม ซึ่งเมื่อนำชุดตัวเลข 1; 24, 51, 10 หรือค่ารากที่สองของ 2 (โดยประมาณ) ไปคูณ ก็จะได้ค่า 42; 25, 35 = 42+25/60+35/(60×60) = 42.426389 ในขณะที่ค่า 30 คูณรากที่สองของ 2 จริงๆ เท่ากับ 42.42640687…

นั่นคือ ค่าความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งยาวด้านละ 30 หน่วย ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3

แบบที่สอง คือตีความว่าตัวเลข 30 คือ 30/60 = 1/2 ซึ่งเมื่อนำชุดตัวเลข 1; 24, 51, 10 หรือค่ารากที่สองของ 2 (โดยประมาณ) ไปคูณ ก็จะได้ค่า 42, 25, 35 = 42/60+25/(60×60)+35/(60x60x60) = 0.7071064814…. ในขณะที่ค่าที่แท้จริง คือ 0.5 คูณรากที่สองของ 2 = 0.707106781186… (นี่คือค่าส่วนกลับของรากที่สองของ 2)

เชื่อกันว่า การตีความแบบที่สองนี้น่าจะตรงกับวัตถุประสงค์ที่แท้จริงด้วย ทั้งนี้ เนื่องจากคณิตศาสตร์แบบบาบิโลเนียนิยมใช้ค่าส่วนกลับในการคิดคำนวณ (เช่น ค่า a/b จะถูกมองว่าเป็น a x 1/b) ดังนั้น หากมองแบบที่สองนี้ก็จะพบว่า ชุดตัวเลข 2 ชุดบนเส้นทแยงมุม ได้แก่ ชุด 1; 24, 51, 10 (รากที่สองของ 2) และ ชุด 42, 25, 35 (ส่วนกลับของรากที่สองของ 2) เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน

น่ารู้ด้วยว่า แผ่นดินเหนียวซึ่งดูเรียบง่ายแต่น่าอัศจรรย์ชิ้นนี้ จริงๆ แล้วน่าจะเป็น “แบบฝึกหัด” สำหรับนักเรียนฝึกคำนวณและจารึกด้วยอักษรรูปลิ่ม เนื่องจากขนาดของรูปลิ่มประมาณ 8 มิลลิเมตรนี้ ต้องถือว่าค่อนข้างใหญ่ เพราะหากผู้จารึกชำนาญแล้ว ตัวอักษรจะเล็กกว่านี้

ปัจจุบันเรารู้เรื่องราวเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบบาบิโลเนียจากแผ่นดินเหนียวราว 400 แผ่น ซึ่งขุดค้นพบตั้งแต่ราวทศวรรษ 1850 ในบทความนี้ ผมจะขอให้ชื่อตัวอย่างแผ่นดินเหนียวคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเอาไว้ เผื่อใครอยากรู้ลึกกว่านี้ก็ไปค้นรายละเอียดต่อเองได้ เช่น

TMS 3 ระบุค่ารากที่สองของ 2 โดยประมาณด้วย 1; 25 = 1 + 25/60 = 1.4167 ซึ่งถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2

TMS 2 เป็นแผ่นรูปร่างเดิมใกล้เคียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมี 2 ด้าน ด้านหนึ่งคำนวณพื้นที่รูป 6 เหลี่ยมด้านเท่า (เรียกว่า 6-front) ส่วนอีกด้านคำนวณพื้นที่รูป 7 เหลี่ยมด้านเท่า (เรียกว่า 7-front)

BM15285 เป็นแผ่นจารึกซึ่งอาจถือได้ว่าเป็น “หนังสือโจทย์เรขาคณิต” เพราะประกอบด้วยโจทย์ปัญหาราว 40 ข้อ แต่ละข้อเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปร่างบางอย่างที่บรรจุอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ได้แสดงวิธีทำ หรือเฉลยคำตอบไว้

Plimpton 322 เป็นแผ่นจารึกที่มีชื่อเสียงมาก เนื่องจากนักวิชาการจำนวนหนึ่งตีความว่าเป็นตารางจำนวน 15 บรรทัด โดยแต่ละบรรทุดมีชุดตัวเลข ทั้งนี้ ชุดตัวเลขในหลายบรรทัดเป็นไปตามทฤษฎีบทของพิทากอรัสที่ว่า a กำลังสอง + b กำลังสอง = c กำลังสอง โดยที่ a, b เป็นความยาวของด้านที่ประกอบเป็นมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

มัตติกาจารึกแห่งโลกโบราณเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า ความล้ำเลิศแห่งสติปัญญามนุษย์ ไม่จำเป็นต้องขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ไฮเทค หรือซอฟต์แวร์อันซับซ้อน แต่อาจปรากฏให้เห็นได้บนวัสดุง่ายๆ จากธรรมชาติ เพียงแค่เราสนใจศึกษาให้ลุ่มลึกเพียงพอเท่านั้น!

ขอแนะนำเรื่อง Mathematical commentary on YBC 7289 ที่ http://www.math.ubc.ca/~cass/euclid/ybc/comments.html

และบทความ Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics : YBC 7289 in Context ที่ https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086098922091 หรือค้น Google ด้วยคำว่า Fowler + Robson + YBC 7289